『二重根号を外す』の電卓

基本：公式を使って外す

二重根号を外す方法として、まず基本となるのが公式を使って外すということです。以下が二重根号を外す公式になります。

二重根号を外す公式

公式を使うことで以下のように二重根号を外せます。

この公式を使う上では、内部ルートの前が必ず２であることと和と積の組み合わせができることの２つがポイントです。この２つの条件が揃ってはじめて公式が使えます。

＜注意1＞

内部ルートの前の２の符号がマイナスの場合、二重根号を外した式は正でなければならないため、a>b>0が成り立つ必要があります。

＜注意2＞

公式を使って二重根号を外した後に、ルートを簡単にできるパターンがあります。ルートの中が簡単にできる場合には最後まで気を抜かずに簡単にしておきましょう。

＜証明＞

この公式がどうして成り立つかというと、まず公式の答えになっているa+bを2乗してみます。

a+bを2乗してみると公式の外部ルートがないものになりました。ということは２乗しなければa+b+2abにルートをかけたものと同じということになります。

応用：ルートの外に２を作る

前章で公式を使って二重根号を外す方法を解説しましたが、公式を使うためには内部ルートの前の数が２である必要がありました。

では、内部ルートの前が２ではなかった場合にどうやって二重根号を外すかの応用です。この応用では内部ルートの前に２を作り公式に当てはめて二重根号を外します。パターンを３つに分けて解説していきます。

＜パターン1.ルート外から中に入れる＞

ルート前の数が2×□の形にできる場合、□をルート内に移動させてルート前を2にすることができます。ルート外からルート内に移動する場合はa=a2なので２乗してルート内に移動させます。

＜パターン2.ルート中から外に出す＞

内部ルートの中が□×22の形にできる場合、2をルート外に移動させてルート前に2を作ります。a=a2なのでルート外に出すと２乗はなくなります。

＜パターン3.中から外、外から中＞

ルート外を中に移動し、ルート中を外に移動させるのがパターン３です。中から外はパターン２と同じですが、外から中は2×□の□ではなく丸ごと移動します。

応用：２で割って２を掛ける

前章ではルート前に２を作りましたが、その方法でもルート前に２を作れない場合もあります。そのような場合には２で割って２を掛けるという強引な方法でルート前に２を作り出します。

まとめ

二重根号の外し方を解説してきました。基本的には公式を使って解き、公式に当てはまらない形の式は変形して公式の形にするという外し方です。

特に難しい計算をおこなうわけではありませんが、落とし穴もありますので注意して二重根号を外すようにしてください。

• 二重根号を外す公式

  (a+b)+2ab = a+b
  (a+b)-2ab = a-b (a>b>0)
• 内部ルートの前に２がない場合は作る
  (ルート外から中へ、ルート中から外へ、又は両方)
• ２が作れない場合は、２で割って２を掛ける