『二重根号を外す』の電卓

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入力例)7+212

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電卓の使い方

ルート内の数や式を電卓に入力し「計算」ボタンを押してください。

計算をやり直す場合は「クリア」ボタンを押すと電卓に入力された式が削除されます。

目次

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二重根号の外し方の解説

ここでは二重根号の外し方について解説していきます。

二重根号というのは、ルートの中にさらにルートがあるような式のことです。例えば以下のような式になります。

8+215

ルートの中にルートがあると数のイメージがしにくいかと思います。この二重根号を外した場合の結果は以下のようになります。

8+215

5+3

二重根号を外すとシンプルになって数のイメージもしやすくなりますね。この二重根号の外し方を解説します。

基本:公式を使って外す

二重根号を外す方法として、まず基本となるのが公式を使って外すということです。以下が二重根号を外す公式になります。

二重根号を外す公式

(a+b)+2ab = a+b
(a+b)-2ab = a-b (a>b>0)

公式を使うことで以下のように二重根号を外せます。

9+214

(7+2)+27×2

7+2

5-26

(3+2)-23×2

3-2

この公式を使う上では、内部ルートの前が必ず2であること和と積の組み合わせができることの2つがポイントです。この2つの条件が揃ってはじめて公式が使えます。

<注意1>

内部ルートの前の2の符号がマイナスの場合、二重根号を外した式は正でなければならないため、a>b>0が成り立つ必要があります。

12-235

5-7

7-5

<注意2>

公式を使って二重根号を外した後に、ルートを簡単にできるパターンがあります。ルートの中が簡単にできる場合には最後まで気を抜かずに簡単にしておきましょう。

6+25

(5+1)+25×1

5+1

5+1

<証明>

この公式がどうして成り立つかというと、まず公式の答えになっているa+bを2乗してみます。

(a+b)2

= a+ab+ab+b

= a+b+2ab

a+bを2乗してみると公式の外部ルートがないものになりました。ということは2乗しなければa+b+2abにルートをかけたものと同じということになります。

(a+b)2 = a+b+2ab

∴ a+b = a+b+2ab

応用:ルートの外に2を作る

前章で公式を使って二重根号を外す方法を解説しましたが、公式を使うためには内部ルートの前の数が2である必要がありました。

では、内部ルートの前が2ではなかった場合にどうやって二重根号を外すかの応用です。この応用では内部ルートの前に2を作り公式に当てはめて二重根号を外します。パターンを3つに分けて解説していきます。

<パターン1.ルート外から中に入れる>

ルート前の数が2×□の形にできる場合、□をルート内に移動させてルート前を2にすることができます。ルート外からルート内に移動する場合はa=a2なので2乗してルート内に移動させます。

14+65

14+(2×3)5

14+232

14+245

(9+5)+29×5

9+5

= 3+5

<パターン2.ルート中から外に出す>

内部ルートの中が□×22の形にできる場合、2をルート外に移動させてルート前に2を作ります。a=a2なのでルート外に出すと2乗はなくなります。

4+12

4+22

4+23

(3+1)+23×1

3+1

3+1

<パターン3.中から外、外から中>

ルート外を中に移動し、ルート中を外に移動させるのがパターン3です。中から外はパターン2と同じですが、外から中は2×□の□ではなく丸ごと移動します。

12+312

12+322

12+232

12+227

(9+3)+29×3

9+3

= 3+3

応用:2で割って2を掛ける

前章ではルート前に2を作りましたが、その方法でもルート前に2を作れない場合もあります。そのような場合には2で割って2を掛けるという強引な方法でルート前に2を作り出します。

4+15

▼2で割って2を掛ける

24+15
2

▼ルート外の2を中に入れる

(4×22)+2215
2
16+415
2

▼内部ルートの前に2を作る

16+(2×2)15
2
16+215×22
2
16+260
2

▼分子を公式に当てはめて二重根号を外す

(10+6)+210×6
2
10+6
2

まとめ

二重根号の外し方を解説してきました。基本的には公式を使って解き、公式に当てはまらない形の式は変形して公式の形にするという外し方です。

特に難しい計算をおこなうわけではありませんが、落とし穴もありますので注意して二重根号を外すようにしてください。

  • 二重根号を外す公式

    (a+b)+2ab = a+b
    (a+b)-2ab = a-b (a>b>0)
  • 内部ルートの前に2がない場合は作る
    (ルート外から中へ、ルート中から外へ、又は両方)
  • 2が作れない場合は、2で割って2を掛ける

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二重根号を外す問題例

次の式を簡単にしなさい。
11+230

(6+5)+26×5

6+5

次の式を簡単にしなさい。
12-232

(8+4)-28×4

8-4

= 22-2

次の式を簡単にしなさい。
14+83

14+(2×4)3

14+23×42

14+248

(8+6)+28×6

8+6

= 22+6

次の式を簡単にしなさい。
5-24

5-6×22

5-26

(3+2)-23×2

3-2

次の式を簡単にしなさい。
6-33
26-33
2
(6×22)-(3×22)3
2
24-123
2
24-(2×6)3
2
24-23×62
2
24-2108
2
(18+6)-218×6
2
18-6
2
32-6
2

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