『素因数分解』の電卓

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を素因数分解

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電卓の使い方

素因数分解をおこないたい数を入力し「計算」ボタンを押してください。

数は正の整数で入力してください。負の数や小数はエラーとなります。

計算をやり直す場合は「クリア」ボタンを押すと入力された数値が削除されます。

目次

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素因数分解の解説

正の整数の約数のうち、素数のものを素因数(そいんすう)と言い、正の整数を素因数で掛け算の形に表すことを素因数分解(そいんすうぶんかい)と言います。

なんだか難しそうに感じるかもしれませんが、素因数分解は要するにある数を一番細かく掛け算の形にすることです。

自分の数と1以外で掛け算の形にできない数を素数と言います。例えば「7」を掛け算の形にできるのは1×7と7×1しかありませんね。自分の数と1しか掛け算に形にできないので「7」は素数ということになります。

なので、素数で掛け算の形を作ることが一番細かく掛け算の形にできるということになり、これが素因数分解というものになります。

素因数分解の方法

素因数分解をおこなう方法は、まず素因数分解をおこなう正の整数を1以外の小さい素数で割っていきます。同じ素数で割れる場合には続けてその素数で割っていき、同じ素数で割れない場合は次に大きな素数で割れる素数を探します。これを割った値と素数が同じになるまで繰り返します。

▼180の素因数分解

2180
290
345
315
5

次に、割った素数と最後に残った数を横に並べて掛け算の形にします。

2180
290
345
315
5
→ 2×2×3×3×5

最後に同じ素数がある場合には、指数を使ってまとめます。この工程は同じ素数がない場合には必要ありません。

2×2×3×3×5
→ 22×32×5

これで素因数分解が完成です。

180 = 22×32×5

素数は素因数分解ができない

素因数分解はすべての数でできるわけではありません。

対象の数が素数であった場合は素因数分解をおこなうことができません。素数は自分の数と1以外で掛け算の形にすることができないので当然素因数分解もできないということになります。

▼素因数分解ができない(素数)の例
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

素数かどうかを調べるにはこちらの電卓ページをご利用ください。
素数の電卓

素因数分解でルートを簡単にする

素因数分解がよく使われる場面として、ルートの中を簡単にするときによく使われます。ルートの計算をおこなう場合にはルートの中を簡単にすることがよくありますが、こういったときに素因数分解を用いておこないます。

ルートの中を簡単にする手順を、2100を簡単にする手順を例にあげて解説します。

まず、ルートの中を素因数分解します。このとき指数にまとめる必要はありません。

2100 = 2×2×3×5×5×7

次に同じ素数が2つある数字をルートの外に出します。これはルートは平方根でありx2=xが成り立つので、ルートの中で2乗できている数字は外に出すことができるためです。

2×2×3×5×5×7 = 2×53×7

あとはルートの中と外の計算をおこなってルートの中を簡単にすることができます。

2×53×7 = 1021

これが素因数分解を用いてルートの中を簡単にする手順になります。ルートを用いた計算ではよく使われるので理解しておきましょう。

素因数分解を使ってルートの中を簡単にする電卓ページもありますのでご活用ください。
ルートの中を簡単にする

素因数分解で最大公約数を求める

素因数分解を使うことで複数の数の最大公約数を求めることができます。

最大公約数を求める場合、数が小さい場合には暗算で求めることもできますが、数が大きくなってくるとなかなか暗算でパッと出すことが難しくなってきます。そこで素因数分解を使うことで大きな数でも簡単に最大公約数を求めることが可能になります。

それでは456と950の最大公約数を求める手順を例にして、素因数分解で最大公約数を求める手順を解説していきます。

まず最大公約数を求める数をそれぞれ素因数分解します。通常指数が1のときは表記しませんが、後の手順に関係するため表記しています。

456 = 23×31×191
950 = 21×52×191

次に、素因数分解されてものから共通する素数の指数が小さいものを抜き出します。指数が同じ素数がある場合は片方を抜き出します。

456 = 23×31×191
950 = 21×52×191

 21×191

あとは抜き出したものを計算すると最大公約数が算出されます。

21×191 = 38

456と950の最大公約数 = 38

これが素因数分解を用いて最大公約数を算出する手順になります。

手順をまとめると
1.最大公約数を求める数の素因数分解
2.共通する素数で指数が小さいものを抜き出す
3.抜き出したものを計算する
という手順になります。

ちなみに手順の2.で共通する素数がない場合には最大公約数は1となります。

素因数分解を使う手順は3個以上の数の最大公約数を求める場合にも使えます。

126と336と546の最大公約数を求めなさい。

126 = 21×32×71
336 = 24×31×71
546 = 21×31×71×131
21×31×71 = 42

素因数分解で最小公倍数を求める

前章で素因数分解を使った最大公約数の求め方を解説しましたが、最小公倍数を求めることもできます。

それでは108と168の最小公倍数を算出する手順を例にして解説していきます。

まず最小公倍数を求める数をそれぞれ素因数分解します。

108 = 22×33
168 = 23×31×71

次に素因数分解で使われている素数と指数を全て抜き出します。ただし共通している素数がある場合には指数が大きい方だけを抜き出します。

108 = 22×33
168 = 23×31×71

 23×33×71

あとは抜き出したものを計算すると最小公倍数が算出されます。

23×33×71 = 1512

108と168の最小公倍数 = 1512

これが素因数分解を用いた最小公倍数の求め方になります。

最大公約数の求め方と似ていますが、要は素因数分解したものからの抜き出し方が違うだけです。最大公約数は共通する素数の指数が小さいものを抜き出す。最小公倍数はすべての素数と指数を抜き出すが共通する素数は指数が大きいものだけを抜き出す。

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素因数分解の問題例

120の素因数分解をおこなってください。
2120
260
230
315
5
→ 2×2×2×3×5
→ 23×3×5
190の素因数分解をおこなってください。
2190
595
19
→ 2×5×19
313は素因数分解できますか?
313は素数のため、素因数分解はできません

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