『一次不定方程式』の電卓

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x
y =

代入する整数解(定数項が0の時は無視)

xy ) = ( 
 )

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電卓の使い方

一次不定方程式を入力し「計算」ボタンを押すと一般解を計算します。

計算をやり直す場合は「クリア」ボタンを押すと入力された数値が削除されます。

目次

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一次不定方程式の解説

ここでは一次不定方程式の解き方を解説します。一次不定方程式というのは、以下のような式を指します。

2x+3y=1

ひとつの方程式しかないのに文字が2つありますね。これだと解が(x,y)=(2,-1)や(x,y)=(5,-3)など何通りもあります。このように解がひとつに定まらない一次方程式のことを一次不定方程式と言います。

ではこのような解が定まらない一次不定方程式をどうやって解くのかというと一般解という形で表します。上記の一次不定方程式の一般解は以下のようになります。

( x, y ) = ( 3m-1, -2m+1 )
mは整数

このように値にも文字を使って整数を代入すればxyを求めることができる解を一般解と言います。試しに実際に整数を代入して確かめてみたいと思います。

m=1
2(3×1-1)+3(-2×1+1) = 1
2×2+3×(-1) = 1
4+(-3) = 1
m=2
2(3×2-1)+3(-2×2+1) = 1
2×5+3×(-3) = 1
10+(-9) = 1
m=-3
2(3×(-3)-1)+3(-2×(-3)+1) = 1
2×(-10)+3×7 = 1
-20+21 = 1

一般解に代入して一次不定方程式に当てはめると式が成立することがわかりますね。

では、本題になるのがこの一次不定方程式の一般解をどうやって求めるかです。ここではその一次不定方程式の一般解の求め方を解説していきます。

ax+by=0の場合

一次不定方程式を解く基本となるのが右辺の定数項が0になる以下のような式です。

3x+5y = 0

このような一次不定方程式を解く場合、まずyの項を右辺に移行させて式を変形します。

3x = -5y

両辺の係数が互いに素(最大公約数が1)の場合は以下の関係に成り立ちます。

×(の倍数) = ×(の倍数)

右辺が5の倍数なので左辺のxは5の倍数ということになります。

mを整数とする
x = 5m

同じように左辺が3の倍数なので右辺のyは3の倍数ということになりますが、係数が負の数であるため-yが3の倍数となります。

mを整数とする
-y = 3m
y = -3m

これで一般解を求めることができました。

( x, y ) = ( 5m, -3m )
mは整数

<係数が互いに素ではない場合>

係数が互いに素ではない場合、文字を対辺の倍数にすることができません。もし係数が互いに素でない場合は変形した後に、両辺を係数の最大公約数で割り一般解を求めます。

8x+6y = 0

▼式を変形
8x = -6y

▼両辺を2で割る
4x = -3y

▼右辺が3の倍数なので、xは3の倍数となる
x = 3m

▼左辺が4の倍数なので、-yは4の倍数となる
-y = 4m
y = -4m

▼一般解(mは整数)
( x, y ) = ( 3m, -4m )

定数項が係数の倍数である場合

次に右辺の定数項がxyの係数の倍数であるパターンを解説します。例えば以下のような一次不定方程式です。

2x-5y = 6

この式では、定数項がxの係数の倍数であることがわかります。

このパターンの一次不定方程式の一般解を求めるには、まずは式を変形します。yの係数を右辺へ、定数項を左辺に移行して、左辺を整理します。

2x-6 = 5y
2(x-3) = 5y

左辺の2と右辺の5が互いに素であるため、以下の関係が成り立ちます。

2×(5の倍数) = 5×(2の倍数)

つまり、x-3が5の倍数、yが3の倍数ということになります。

x-3 = 5m
x = 5m+3
y = 3m

これで一般解を求めることができました。

( x, y ) = ( 5m+3, 3m )
mは整数

ax+by=cの場合

次にax+by=cの形になっている一次不定方程式の一般解の求め方を解説します。例えば以下のような一次不定方程式です。

3x+2y = 1

こういった一次不定方程式の一般解を求める場合、まずひとつの整数解を求めます。xyに値を代入してみて式が成立する値を探しましょう。ちなみに不定方程式が成り立つ解のひとつを特殊解と言います。

( x, y ) = ( 1, -1 )

整数解をひとつ見つけたら、元の式から整数解を代入した式を引きます。すると定数項が相殺され0となりますので、yの項を移行させることができます。

3x+2y=1
ー)3×1+2×(-1)=1
3(x-1)+2(y+1)=0
3(x-1)=-2(y+1)

左辺の3と右辺の2が互いに素であるため、以下の関係が成り立ちます。

3×(2の倍数) = 2×(3の倍数)

つまり、x-1が2の倍数、-(y+1)が3の倍数ということになります。

x-1 = 2m
x = 2m+1
-(y+1) = 3m
y+1 = -3m
y = -3m-1

これで一般解を求めることができました。

( x, y ) = ( 2m+1, -3m-1 )
mは整数

ユークリッドの互除法を用いた整数解の求め方

前章の解き方で整数解をひとつ見つけるという過程がありましたが、係数が小さい場合には簡単に見つかりますが、係数が大きくなると整数解をひとつ見つけるだけでも難しくなってしまいます。

そこで大きな係数でも整数解を見つける方法をここでは解説していきます。その方法とはユークリッドの互除法を用いた方法になります。

ユークリッドの互除法というのは、複数の数の最大公約数を見つける方法で、まず大きな数を小さな数で割って商と余りを出します。あとは割った数を余りで割るという事を繰り返して、余りが0になった時の割った数が最大公約数になります。

▼66と24の最大公約数
66÷24 = 2 ... 18
24÷18 = 1 ... 6
18÷6 = 3 ... 0
最大公約数は6

このユークリッドの互除法を応用して整数解を見つけます。例題として以下の一次不定方程式を解いてみます。

75x+52y = 1

まずは係数の75と52にユークリッドの互除法を適用します。これは最大公約数を求めることが目的ではなく、式を応用するためにおこないます。

75÷52 = 1 ... 23
52÷23 = 2 ... 6
23÷6 = 3 ... 5
6÷5 = 1 ... 1
5÷1 = 5 ... 0

次に上記の式を『 割られる数 - 割る数 × 商 = 余り 』という形に変形します。このとき一番最後の余りが0になる式を不要なので取り除いておきます。

75-52×1 = 23
52-23×2 = 6
23-6×3 = 5
6-5×1 = 1

次に下から2番目の式を一番下の式に代入していきます。下から2番目の式は余りが5なので、一番下の式に左辺を代入することができます。

6-(23-6×3)×1 = 1

代入したら○×△の形になるように式を整理します。

6-(23-6×3)×1 = 1
6-23×1+6×3 = 1
6×4-23×1 = 1

これで下から2番目の式を代入して整理できました。同じように下から3番目、4番目と代入して整理していきます。

6×4-23×1 = 1
(52-23×2)×4-23×1 = 1
52×4-23×9 = 1
52×4-(75-52×1)×9 = 1
52×13-75×9 = 1

最後にできた式を以下のように変形してみると元の一次不定方程式の形になることがわかると思います。

75×(-9)+52×13 = 1

つまり、( x, y ) = ( -9, 13 )が整数解のひとつとして見つかるというわけです。

<定数項が1以外の場合>

定数項が1以外の場合はもう1手間必要になります。例えば以下のような一次不定方程式の場合です。係数は先ほどの式と同じで定数項が2になっています。

75x+52y = 2

この場合、まず定数項を1としてユークリッドの互除法で一次不定方程式の形になる式を作ります。先程と解き方は同じになるので以下の式ができます。

75×(-9)+52×13 = 1

しかし、本来の式は定数項が2なのでこの式の両辺に2を掛けます。

75×(-18)+52×26 = 2

これで本来の一次不定方程式の形にすることができました。つまり、整数解は( x, y ) = ( -18, 26 )ということがわかったというわけですね。

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一次不定方程式の問題例

4x-7y = 0

▼式の変形

4x = 7y

▼右辺が7の倍数なので、xは7の倍数となる

x = 7m

▼左辺が4の倍数なので、yは4の倍数となる

y = 4m

▼一般解 (mは整数)

( x, y ) = ( 7m, 4m )

12x+16y = 0

▼式の変形

12x = -16y

▼両辺を4で割る

3x = -4y

▼右辺が4の倍数なので、xは4の倍数となる

x = 4m

▼左辺が3の倍数なので、-yは3の倍数となる

-y = 3m

y = -3m

▼一般解 (mは整数)

( x, y ) = ( 4m, -3m )

3x+4y = -6

▼式を変形する

3x+6 = -4y

3(x+2) = -4y

▼右辺が4の倍数なので、x+2は4の倍数となる

x+2 = 4m

x = 4m-2

▼左辺が3の倍数なので、-(y)は3の倍数となる

-(y) = 3m

y = -3m

▼一般解 (mは整数)

( x, y ) = ( 4m-2, -3m )

7x+3y = 1

▼整数解をひとつ求める

( x, y ) = ( 1, -2 )

▼元の式から整数解を代入した式を引く

7x+3y=1
ー)7×1+3×(-2)=1
7(x-1)+3(y+2)=0
7(x-1)=-3(y+2)

▼右辺が3の倍数なので、x-1は3の倍数となる

x-1 = 3m

x = 3m+1

▼左辺が7の倍数なので、-(y+2)は7の倍数となる

-(y+2) = 7m

y+2 = -7m

y = -7m-2

▼一般解 (mは整数)

( x, y ) = ( 3m+1, -7m-2 )

15x-11y = 3

▼整数解をひとつ求める

( x, y ) = ( -2, -3 )

▼元の式から整数解を代入した式を引く

15x-11y=3
ー)15×(-2)-11×(-3)=3
15(x+2)-11(y+3)=0
15(x+2)=11(y+3)

▼右辺が11の倍数なので、x+2は11の倍数となる

x+2 = 11m

x = 11m-2

▼左辺が15の倍数なので、y+3は15の倍数となる

y+3 = 15m

y = 15m-3

▼一般解 (mは整数)

( x, y ) = ( 11m-2, 15m-3 )

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