『循環小数を分数変換』の電卓

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入力例)0.3

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電卓の使い方

変換する循環小数を電卓に入力し「変換」ボタンを押してください。

キーボードの「循環少数」ボタンを押すと循環小数の入力ができます。再度「循環少数」ボタンを押すと元に戻ります。

途中式も表示されますので変換の過程がわかります。

循環部分が3つ以上ある場合は「0.123」と記述しますが、この電卓での入力は「0.123」でも計算できます。

やり直す場合は「クリア」ボタンを押すと電卓に入力された値が削除されます。

目次

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循環少数を分数変換する方法を解説

ここでは循環小数を分数に変換する方法を解説していきます。

まず循環小数(じゅんかんしょうすう)が何かというと、0.333333...のように同じ数字が無限に繰り返される少数のことです。1つの数字だけでなく複数の数字が繰り返される0.121212...や0.123123123...も循環小数です。

「循環」とは「ひとまわりして元に戻り繰り返す」という意味の言葉です。

循環少数をよく見る場面として、分数を少数にしたときに見かけることがあります。例えば、分数の3分の1を少数にすると0.333333...といった循環少数になります。

ここでは逆に循環小数を分数に変換する方法を解説していきます。

循環少数の表し方

変換の方法を解説する前に、循環少数の表し方を紹介したいと思います。

循環少数は0.333333...のように無限に続きますが、循環する数字の上に「・」を付けることで循環小数を表すことができます。また複数の数字が繰り返す場合には、繰り返す数字の最初と最後の数字の上に「・」を付けます。

▼1つの数字を繰り返す循環小数
0.333333...0.3

▼2つの数字を繰り返す循環小数
0.121212...0.12

▼3つの数字を繰り返す循環小数
0.123123...0.123

循環少数を分数に変換

ここからは循環少数を分数に変換する方法を解説していきます。0.333333...という循環少数を分数に変換することを例にしながら解説していきます。

まず変換する循環少数をxとして式を作ります。この式は①とします。

▼循環少数をxとする
x = 0.333333... (①)

次に式①の両辺を10倍した式を作ります。この式は②とします。

▼①を10倍して②を作る
10x = 3.333333... (②)

ここまでで①と②の2つの式ができました。次に②から①を引きます。

▼②から①を引く

10x=3.333333...
ー)x=0.333333...
9x=3

右辺に注目していただきたいのですが、少数が打ち消されて整数が算出されました。①も②も少数が3が繰り返されるので引くことで少数を消すことができるんです。

あとは算出された式を解いてxの値を求めます。約分ができる場合にはしっかり約分までおこないます。

xを求める
9x = 3

x = 
3
9
 = 
1
3

xは最初に循環少数とイコールにしたので、上記で算出されたxの値が循環少数の分数変換したものとなります。

▼答え

0.3 = 
1
3

これが循環少数を分数に変換する流れになります。

特に難しい計算ではありませんが、疑問になるのは式②を作る箇所だと思います。

なぜ10倍するかというと、次の過程(②から①を引く部分)で少数を打ち消して整数を作りたいためです。なので必ず10倍するということではありません。少数の桁数によって倍数が変動します。

例えば、0.12の場合ですと少数が2桁あるので100倍します。0.123だと少数が3桁あるので1000倍です。このように少数の桁数をnをすると10のn乗を掛けて式②を作る事になります。

このような少数が複数ある具体的な例は下の章を参照してください。

循環部分が複数ある少数を分数に変換

前章では1つの数字が繰り返す循環小数の分数変換方法を解説しましたが、ここでは複数の数字が繰り返す循環小数の変換方法の具体的な例をあげます。

繰り返す数字が1つでも複数でも基本的な計算方法は同じです。違いがあるのは式②を作る部分のみです。前章の繰り返しになりますが、式②を作る場合の倍数は、少数の桁数をnとした場合に10のn乗となります。

それではまずは2つの数字が繰り返される循環小数を分数に変換する具体例です。

0.45を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.454545... (①)

▼①を100倍して②を作る

100x = 45.454545... (②)

▼②から①を引く

100x=45.454545...
ー)x=0.454545...
99x=45
x=
45
99
 = 
5
11

▼変換結果

0.45 = 
5
11

次は3つの数字が繰り返される循環小数を分数に変換する具体例です。

0.369を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.369369... (①)

▼①を1000倍して②を作る

1000x = 369.369369... (②)

▼②から①を引く

1000x=369.369369...
ー)x=0.369369...
999x=369
x=
369
999
 = 
41
111

▼変換結果

0.369 = 
41
111

小数の桁数が多くなるとやや計算過程での数字が大きくなって面倒ですが、計算の仕方自体はシンプルなものです。上記の具体例を参考にして計算の流れを掴んでください。

整数がある場合の変換

ここまでで整数がない循環少数の分数変換を解説してきましたが、ここでは整数がある循環少数の分数変換を解説していきます。整数がある循環小数というのは例えば345.666666...のような値です。

整数がある循環少数の場合、2通りの計算方法があります。

まず1つ目は、これまでおこなってきた整数がない循環小数の分数変換と全く同じ方法です。

345.6を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 345.666666... (①)

▼①を10倍して②を作る

10x = 3456.666666... (②)

▼②から①を引く

10x=3456.666666...
ー)x=345.666666...
9x=3111
x=
3111
9
 = 
1037
3

▼変換結果

345.6 = 
1037
3

これまでの変換方法でも計算することはできますが、計算の数値が大きくなって約分するのが面倒だったりします。

そこで2つ目の方法ですが、整数と少数を分けて少数のみを分数に変換します。少数を分数に変換後に整数を足す方法になります。

345.6を分数で表しなさい。

▼整数と少数に分ける

345.6  345と0.6

▼循環少数をxとする

x = 0.666666... (①)

▼①を10倍して②を作る

10x = 6.666666... (②)

▼②から①を引く

10x=6.666666...
ー)x=0.666666...
9x=6
x=
6
9
 = 
2
3

▼分けた整数と少数を合わせる

345 + 
2
3
 = 
1037
3

▼変換結果

345.6 = 
1037
3

2つ目の方法では特に整数が大きい場合に計算が簡単になります。どちらの計算方法でも結果は同じなので整数の大きさで使い分けてもいいでしょう。

循環しない少数が含まれる場合の変換

ここでは循環しない少数が含まれる場合の分数変換方法を解説します。例えば0.4333333...のように循環しない4がありその後ろで3が循環しているような少数のことです。

循環しない少数が含まれる場合の計算方法もほぼこれまでと同様ですが、式の①と②を作る際に①はそのまま使っていましたが、少数を循環少数に合わせる必要があるため①の式も手を加える必要があります。

0.43を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.433333... (①)

▼①を100倍して②を作る

100x = 43.333333... (②)

▼少数を合わせるために①を10倍する

10x = 4.333333... (①)

▼②から①を引く

100x=43.333333...
ー)10x=4.333333...
90x=39
x=
39
90
 = 
13
30

▼変換結果

0.43 = 
13
30

循環しない少数が含まれている場合には、①の式に10の(循環しない少数の桁数)乗を掛けることで少数を循環小数のみにすることができます。これで②から①を引いたときに循環少数を打ち消すことができ、分数に変換することができます。

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循環少数を分数変換する問題例

0.8を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.888888... (①)

▼①を10倍して②を作る

10x = 8.888888... (②)

▼②から①を引く

10x=8.888888...
ー)x=0.888888...
9x=8
x=
8
9

▼変換結果

0.8 = 
8
9
0.69を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.696969... (①)

▼①を10倍して②を作る

100x = 69.696969... (②)

▼②から①を引く

100x=69.696969...
ー)x=0.696969...
99x=69
x=
69
99
 = 
23
33

▼変換結果

0.69 = 
23
33
0.102を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.102102... (①)

▼①を1000倍して②を作る

1000x = 102.102102... (②)

▼②から①を引く

1000x=102.102102...
ー)x=0.102102...
999x=102
x=
102
999
 = 
34
333

▼変換結果

0.102 = 
34
333
2.6を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 2.666666... (①)

▼①を10倍して②を作る

10x = 26.666666... (②)

▼②から①を引く

10x=26.666666...
ー)x=2.666666...
9x=24
x=
24
9
 = 
8
3

▼変換結果

2.6 = 
8
3
0.24を分数で表しなさい。

▼循環少数をxとする

x = 0.2444444... (①)

▼①を100倍して②を作る

100x = 24.444444... (②)

▼少数を合わせるために①を10倍する

10x = 2.444444... (①)

▼②から①を引く

100x=24.444444...
ー)10x=2.444444...
90x=22
x=
22
90
 = 
11
45

▼変換結果

0.24 = 
11
45

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