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三平方の定理の問題解説
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三平方の定理の問題解説
ここでは「三平方の定理」と「特別な直角三角形」の問題について解説します。図形の問題ではよく使われることもあり応用問題も多いのでしっかりと基礎を固めておきましょう。
三平方の定理
直角三角形の辺の長さを以下のような関係が成り立ちます。
この関係を「三平方の定理」（別名：ピタゴラスの定理）と言います。
斜辺は必ず定理のcの位置になることに注意してください。aとbはどちらの辺でも構いません。三角形の向きが違う問題の場合にどこが斜辺になるかを間違わないようにしましょう。
この三平方の定理を活用すれば、直角三角形の２つの辺がわかれば、もうひとつの辺の長さを求めることができます。
斜辺を求める
斜辺以外の２辺がわかっていて、斜辺の長さを求める問題です。
問題
図のxを求めよ。
42+32=x2
x2=16+9
x2=25
x=±5
x>0なので、x=5
斜辺以外の辺を三平方の定理に代入して斜辺を求めます。辺の長さにはマイナスはないので、プラスの平方根となります。
斜辺以外を求める
斜辺とその他の辺から、もうひとつの辺の長さを求める問題です。
問題
図のxを求めよ。
x2+62=102
x2=100-36
x2=64
x=±8
x>0なので、x=8
この問題でも三平方の定理に代入して残りの辺を求めます。斜辺の代入箇所に気をつけましょう。
特別な直角三角形
ある特定の内角を持った直角三角形は、辺の比率がわかりやすくなります。こういった三角形を「特別な直角三角形」と呼びます。
辺の比率を覚えておくことで、１つの辺さえわかれば他の２辺の長さを求めることができます。
45°・45°・90°の直角三角形
内角が45°・45°・90°の直角三角形は辺の比が以下のようになります。
この辺の比率を使ってひとつの辺からその他の辺を求めます。
問題
図のx、yを求めよ。
8：x = 1：1
x = 8
8：y = 1：2
y = 82
30°・60°・90°の直角三角形
内角が30°・60°・90°の直角三角形は辺の比が以下のようになります。
この三角形は比率は３つとも違うので、どの辺がどの比になるかを間違わないようにしましょう。
問題
図のx、yを求めよ。
3：x = 1：2
x = 6
3：y = 1：3
y = 33
まとめ
ここでは「三平方の定理」と「特別な直角三角形」について解説しました。
計算自体は特に難しいことはありませんが、どの辺が定理や比のどこになるかを間違わないようにしましょう。特に三角形の向きなどが違っていると間違えやすくなりますので、問題の反復練習をおこなって凡ミスしないようにしておきましょう。
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