平方根(ルート)の問題出題ツール
平方根(ルート)の問題解説
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平方根(ルート)の問題解説
ここでは中学数学で習う平方根（ルート）の問題について解説していきます。平方根（ルート）は今後の数学でも使われることがありますので、今のうちにマスターしておきましょう。
平方根を求める
まずは最も基本的な平方根を求める問題です。
そもそも平方根はどういうものかというと簡単に言えば「２乗の反対」です。例えば、３の２乗は９です。この反対で９の平方根は３ということになります。つまりある数の平方根を求める問題の場合、２乗してその数になるのが平方根ということになります。
ただし、気をつけないといけないのは平方根はひとつとは限らないということです。２乗してある数になるのが平方根ですから、例えば２乗して９になる数は「３」と「−３」があります。このように絶対値が同じで符号違いの数が平方根になります。このような場合、回答は「±３」と答えます。
25の平方根を求めよ。
25 = 52なので、25の平方根は「±5」
ちなみに、「ー９」のような負の数の平方根は存在しません。２乗して負の数になることはないからです。
少数の平方根
平方根を求める問題の少し応用したもので、少数の平方根を求める問題です。少数の場合も２乗して対象の数になるのが平方根という解き方は同じですが、少数点には注意が必要になります。
0.16の平方根を求めよ。
0.16 = 0.42なので、0.16の平方根は「±0.4」
分数の平方根
こちらも応用で分数の平方根を求める問題です。分数の場合、分母と分子のそれぞれの平方根を求めれば答えを導きだすことができます。
問題
回答
ルートで表す平方根
ここまで解説した問題では平方根が整数だったり少数桁が少ない少数だったりとわかりやすい数でした。では例えば「３」の平方根はどうでしょうか？３の平方根は「1.732....」のように少数がずっと続く数になってしまい正確に表現できません。このような場合にはルート（ ）という記号を使います。３の平方根を表す場合には「3」という風に書きます。ただ気をつけたいのはルートには符号の意味は含まれませんので正確には３の平方根は「±3」ということになります。
15の平方根を求めよ。
15の平方根は「±15」
ルートを使わずに表す
次は、「ルートを使わずに表す」問題です。ルートは平方根を表す記号なので、平方根を求める問題と似ています。
64をルートを使わずに表せ。
64 = 82なので、64は「8」
平方根を求める問題と同じように、２乗してルートの中身の数になる数を見つければルートを使わずに表すことができます。
ただルートを使わずに表す場合は符号に注意が必要です。答えに注目すると「±」がついていません。ルートは符号に意味を含まず絶対値にだけつくものなので正のルートは正の平方根、負のルートは負の平方根となります。
-49をルートを使わずに表せ。
49 = 72なので、-49は「-7」
少数をルートを使わずに表す
少数の場合でも符号以外は平方根を求める問題と同じ考え方で解きます。少数は少数の桁数に注意しましょう。
0.09をルートを使わずに表せ。
0.09 = 0.32なので、0.09は「0.3」
分数をルートを使わずに表す
分数でも考え方は同じです。
問題
回答
２乗のルート
ルートの中の数が２乗になっている問題です。ルートは平方根、つまり２乗の反対を意味するのでルートの中が２乗ということはルートを使わずに表すとルートと２乗を省いた数になります。要するに「 a2 = a 」になるということです。
182をルートを使わずに表せ。
182 = 18なので、「18」
平方根の大小
２つの数の大きさを比べる問題です。単純な数であれば大きさを比べるのは簡単ですが、ルートの数になると大きさのイメージがしにくく大小を比べるのがわかりにくいと思います。
しかしある法則は覚えていればルートの数でも簡単に大きさを比べることができます。その法則とは、「 a ＞ bであれば、a ＞ bである 」です。つまりルート同士の数の大きさを比べる場合は、ルートの中身の大小を比べればどちらが大きいかを判断することができるということです。
２つの数の大小を不等号を用いて表せ。
3 8
3 ＜ 8なので、「 3＜8 」
負の数を比べる場合は、絶対値が小さいほうが数としては大きくなるので注意しましょう。
２つの数の大小を不等号を用いて表せ。
-5 -7
-5 ＞ -7なので、「 -5＞-7 」
ルートなしとルートありの数を比べる
ルートがついている数とルートがついていない数の大きさを比べる場合には、ルートがついていない数をルートについている数に変換して大きさを比べます。「 a2 = a 」の法則を利用すればルートなしからルートありの数に変換することができます。
２つの数の大小を不等号を用いて表せ。
4 10
4=42=16
16 ＞ 10なので、「 4＞10 」
ルートの変形
ここまでで使ってきたルートは「 b 」の形でしたが、ルートには「 ab 」のようにルートの外に数がある形もあります。このような形のときに、外の数を中にいれたり、中の数を外に出したりして変形させる方法をここでは解説します。
ルートに入れる
ルートの外にある数を中にいれます。この変形には、ルートがついていない数にルートをつける方法が使えます。つまり「 a = a2 」を応用して「 ab = a2×b 」と考えることができます。
25をaの形にせよ。
= 22 × 5
= 20
ルートの中を簡単にする
ルートの中にある数をできるだけ小さくすることを「ルートの中を簡単にする」と言います。ルートの中を素因数分解して、２乗になっている数はルートの外に出すことができます。
45のルートの中をできるだけ簡単にせよ。
= 3 × 3 × 5
= 32 × 5
= 35
ルートの外に数がある場合は、中から外にだした数と掛け算をおこないます。
38のルートの中をできるだけ簡単にせよ。
= 32 × 2 × 2
= 322 × 2
= 3 × 22
= 62
分母の有理化
分母がルートになっている分数のルートをはずすことを「有理化」と言います。分数の計算などで分母にルートがあると計算しにくい場合などに有理化をおこなわれます。有理化を５つのステップでおこないます。
問題
回答
STEP1.分母のルートを簡単にする
STEP2.ルートの中同士・外同士で約分する
STEP3.分母のルートを分子・分母に掛ける
STEP4.分子のルートを簡単にする
STEP5.ルート外の数同士で約分する
上記の問題では、手順がわかるようにすべてのステップを使う問題でしたが、問題によっては省略できる場合もあります。例えばルートの中を簡単にできなかったり約分できなかったりなどです。
ポイントとなるのはSTEP3で、分母のルートを分子・分母に掛けることによって分数の関係を維持したまま分母のルートをはずすことができます。
ルートの計算
ここではルートがある数の計算（四則演算）を解説します。ルートの計算はよく使われるので必ず覚えておきましょう。
加法・減法
ルートの計算で、加法と減法は同じ考え方です。加法と減法はルートの中が同じ数同士でしか計算ができません。ルートの中が同じ数であればルート外の数を加法・減法します。ちなみにルート外の数がないときは１が省略されていると考えます。
23 + 53 = 73
56 - 6 = 46
45 + 27 = 計算できません
82 - 33 = 計算できません
注意しなければいけないことは、ルートの中が異なっていても計算ができるパターンがあることです。ルートの中を簡単にすることでルートの中が同じになり計算ができるようになることがあります。
550 + 32 = 252 + 32 = 282
26 - 354 = 26 - 96 = -76
272 + 632 = 122 + 242 = 362
7125 - 20 = 355 - 25 = 335
とにかくルートの中は簡単にしておくようにしましょう。
乗法・除法
乗法と除法は、ルートの中同士・外同士で除法や除法をおこないます。加法・減法とは違いルートの中の数が異なっていても計算することができます。
92 × 53 = 9×52×3 = 456
5021 ÷ 57 = 50÷521÷7 = 103
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