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二次方程式の問題解説
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二次方程式の問題解説
ここでは中学の数学で習う二次方程式の問題について解説していきます。
二次方程式とは、x2のように文字に２乗がついている方程式です。二次方程式を解くというのはxの値を求めることですが、二次方程式の文字の値はひとつとは限りません。というよりほとんどの場合は文字の値は２つになります。
ax2+bx+c = 0の形にする
これは二次方程式を解くうえで前提になることですが、まずは式を「 ax2+bx+c = 0 」の形に変形します。後に説明する「平方根で解く」方法では不要な場合もありますが、「因数分解で解く」や「解の公式で解く」方法の場合にはまずはこの形の式に変形することから始めます。
式を変形する方法については一次方程式でおこなったことと同じです。同類項の計算をしたり、全ての項を同じ数で割れるときは両辺を同じ数で割り、分数は整数にし、カッコは展開するなどです。移項については全て左辺に移項し右辺は0にすればax2+bx+c = 0の形に変形することができます。
▼同類項の計算
x2+4x-5 = 0
▼両辺を同じ数で割る
(2x2+4x+4)÷2 = 0÷2
x2+2x+2 = 0
▼分数を整数に
▼カッコの展開
x2+12x-10 = 0
ちなみに二次方程式を解くうえで、このような変形をおこなうことを「式を整理する」という言い方をします。もちろんすでにこの形になっている問題であれば整理は不要ですが、まずはこの形に整理することから考えましょう。
平方根で解く
ここからは二次方程式の問題の解き方に入っていきます。まずは最も基本的な「平方根で解く」方法です。
平方根とは２乗の反対のことですので、例えば「 ●2 = □ 」という式があったとすると「 ● = ±□ 」とすることができます。プラスマイナスがあることに注意しましょう。この法則を使うことで二次方程式の問題を解くことができます。
x2 = 5
x = ±5
ルートの中身によってはルートをはずせる場合があります。ルート内の数値の平方根が整数になる場合にはルートをはずしましょう。
x2 = 4
x = ±4
x = ±2
ルートがはずせなくてもルートの中はできるだけ簡単にしましょう。平方根のときに習った「ルートの中を簡単にする」方法を使ってルートの中を簡単にしておきます。
x2 = 8
x = ±8
x = ±22
x2の項の係数の平方根が整数になるような場合でも解くことができます。
4x2 = 6
(2x)2 = ±6
2x = ±6
また左辺が文字の２乗ではなく、式の２乗でも平方根の法則から二次方程式の問題をとくことができます。
(x+12)2 = 4
x+12 = ±4
x = -12±4
x = -12±2
x = -10, -14
因数分解で解く
前章の「平方根で解く」で解けない問題の場合、「因数分解で解く」方法を考えます。ax2+bx+c = 0の形になっている式の左辺を因数分解して値を求める方法です。
因数分解することによって「●×■=0」の形にすることができます。掛け算して0になるということはどちらかが0と考えることができ、もう一方の値を求めることができることになります。
●(●+●)=0の値の求め方
x2-3x = 0
▼左辺を因数分解
x(x-3) = 0
▼(x-3) = 0のとき
x = 0
▼x = 0のとき
x-3 = 0
x = 3
▼解
x = 0, 3
(●+●)(●+●)=0の値の求め方
x2-2x-8 = 0
▼左辺を因数分解
(x-4)(x+2) = 0
▼(x+2) = 0のとき
x-4 = 0
x = 4
▼(x-4) = 0のとき
x+2 = 0
x = -2
▼解
x = 4, -2
(●+●)2=0の値の求め方
x2-12x+36 = 0
▼左辺を因数分解
(x-6)2 = 0
▼(x-6) = 0のとき
x-6 = 0
x = 6
▼解（値がひとつのみ）
x = 6
慣れないうちは値を求めるのに考える時間が必要ですが、繰り返し問題を解いて慣れてくればパッと値を割り出せるようになります。
【応用】因数分解と平方根で解く
ここで少し応用した解き方を紹介します。パッと見て因数分解できない式だったとしても式を変形することで因数分解ができ、平方根で解ける式に持っていけることがあります。
x2-2x-20 = 0
▼定数項を移項して、両辺に1を足す
x2-2x = 20
x2-2x+1 = 20+1
x2-2x+1 = 21
▼左辺を因数分解
(x-1)2 = 21
▼平方根で解く
x-1 = ±21
x = 1±21
この方法はxの項が（2×x2の項の係数の平方根）で割れる場合に使うことができます。この方法が使えるようになっておくと問題を解く時間の短縮にもなりますので身につけておいて損はありません。
解の公式で解く
平方根や因数分解で解けない二次方程式の問題は、解の公式を用いて解きます。解の公式はどの問題でも解けるので平方根や因数分解で解ける問題だったとしても検算としても使うこともできます。
公式
ax2+bx+c=0とすると
x2+3x+1 = 0
▼公式に当てはめる
ルートの中を簡単にできたり約分ができる場合には忘れずにおこないましょう。
6x2+8x+1 = 0
▼公式に当てはめる
▼ルートの中を簡単にする
▼約分
まとめ
二次方程式の問題の解き方は、ax2+bx+c = 0の形にして、平方根・因数分解・解の公式で解くという手順になります。
こういった解説を見たりしただけでは、まだ頭の中でフワッとしているかもしれません。しっかりと身につけるためにはやはり自分で問題を解きながら覚えていくというのが一番良いかと思います。パターン別の問題を解いてひとつずつ自分のものにしていくことです。
当サイトの二次方程式の問題出題ツールはパターン別に問題が出題でき、回答もすぐに確認できるので、二次方程式の解き方を身につけるには役に立てると思います。是非当サイトの問題出題ツールを活用してください。
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