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比例と反比例の問題解説

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比例と反比例の問題解説

ここでは比例と反比例の問題について解説します。

方程式において、いろいろな値が入る文字（xやyなど）を変数と言います。また変数とは違い常に同じ値のことは定数と言います。

２つの変数（xとy）があり、xの値が決まるとyの値も決まるときは、「yはxの関数」と言います。

比例

比例の式
y=ax

yとxは変数で、aは定数となります。aは比例式の定数ですので、比例定数とも呼ばれます。

xを求める

比例の式とyの値からxの値を求める問題です。式にyの値を代入して方程式を解く要領でxの値を求めます。

問題
y=4xについて、y=16のときのxの値を求めよ。
回答
16 = 4x
x = 4

yを求める

比例の式とxの値からyの値を求める問題です。xを求めるときと同様に、式にxの値を代入して方程式を解く要領でyの値を求めます。

問題
y=5xについて、x=4のときのyの値を求めよ。
回答
y = 5×4
y = 20

式を求める

xとyの値から比例式を求める問題です。まず比例の基本式「y=ax」にxとyの値を代入して方程式を解く要領で比例定数（a）を求めます。比例定数がわかったら基本式にaの値を代入して式を完成させます。

問題
yがxに比例し、x=8のときにy=24である。yをxの式で表せ。
回答

y=axに値を代入
24 = 8a
a = 3

よって、式は
y = 3x

反比例

反比例の式
y =
a
x

aが比例定数です。ちなみに上記の基本式を変形させると、両辺にxを掛けて「xy=a」という形にできます。つまり、比例定数aは、xとyの積になるということがわかるかと思います。

xを求める

反比例の式とyの値から、xの値を求める問題です。反比例の式にyの値を代入し方程式を解く要領でxの値を求めます。

問題
y=
15
x
について、y=5のときのxの値を求めよ。
回答
5=
15
x
5x=15
x=3

yを求める

反比例の式とxの値から、yの値を求める問題です。反比例の式にxの値を代入し方程式を解く要領でyの値を求めます。

問題
y=
9
x
について、x=3のときのyの値を求めよ。
回答
y=9÷3
y=3

式を求める

xとyの値から反比例の式を求める問題です。反比例の式を変形した「xy=a」に変数の値を代入して比例定数を求めます。比例定数がわかったら反比例の式に代入して式を完成させます。

問題
yがxに反比例し、x=3のときにy=4である。yをxの式で表せ。
回答
y=
a
x
を変形したxy=aに値を代入
3×4=a
a=12

よって式は

y=
12
x

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